بی نهایت چقدر بزرگ است؟ - وبلاگ شریان

به گزارش وبلاگ شریان، آیا می دانستید که بعضی از بی نهایت ها بزرگ تر از بقیه هستند؟ یا اینکه ما دقیقا مطمئن نیستیم که آیا بی نهایت هایی بین دو بی نهایت وجود دارد یا خیر؟ ریاضیدانان قرن هاست که در خصوص سوال دوم فکر می نمایند و جالب است بدانید که بعضی از کارهای صورت گرفته در خصوص بی نهایت ها طرز تفکر ریاضی دانان را در خصوص این موضوع تغییر داده است!

چطور بی نهایت ها را میزان گیری می نمایند!

برای پاسخ به سؤالات مربوط به درک میزان مجموعه های بی نهایت، اجازه دهید کار را با مجموعه هایی از اعداد آغاز کنیم که شمارش آن ها آسان تر است. مجموعه ای از اشیاء، اعداد یا عناصر که شامل تعداد محدودی از این المان ها است را در نظر بگیرید.

در اینجا ما دو نمونه از مجموعه های چهار عضوی و متناهی را در نظر می گیرم.

همانطور که می بینید معین میزان یک مجموعه متناهی آسان است، چراکه تنها کافیست تعداد عناصر موجود در آن را بشمارید. از آنجایی که مجموعه متناهی است، می دانید که در نهایت شمارش متوقف خواهید شد و شما میزان مجموعه را به دست خواهید آورد. در عین حال کاملا تعیین است که این استراتژی برای مجموعه های بی نهایت کارآمد نیست. بنابراین رویه را به شکل دیگری پیش می گیریم. در اینجا مجموعه ای از اعداد طبیعی که با ℕ نشان داده می گردد را در نظر می گیریم. البته ممکن است استدلال کنید که صفر یک عدد طبیعی نیست، اما این بحث بر تحقیقات ما در خصوص بی نهایت ها تاثیرگذار نیست.

ℕ={0،1،2،3،4،5،…}

میزان این مجموعه چقدر است؟

از آنجایی که بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد، کوشش شما برای شمارش تعداد عناصر این مجموعه بی معنی است. به همین دلیل یک راهکار این است که به سادگی میزان این مجموعه نامتناهی را بی نهایت اعلام کنید که اشتباه هم نیست، اما زمانی که با مجموعه های نامتناهی بیشتر سروکله بزنید، متوجه می شوید که این حرف چندان هم درست نیست!

مجموعه ای از اعداد حقیقی را در نظر بگیرید که همه اعداد آن قابل بیان در یک بسط اعشاری 8.015- ,3.2 ,7 یا یک بسط بی نهایت مانند …1.414213=2-√ باشند. از آنجایی که هر عدد طبیعی یک عدد حقیقی هم است، می توان اعلام کرد که مجموعه اعداد حقیقی حداقل به میزان مجموعه اعداد طبیعی است، بنابراین باید بی نهایت هم باشد. اما بیان میزان بی نهایت مجموعه اعداد حقیقی هم به همان میزان غیر قابل قبول است. به منظور درک این موضوع دو عدد مانند 3 و 7 را انتخاب می کنیم. طبیعی است که بین این دو عدد تعداد متناهی از اعداد طبیعی مانند 6 ,5 ,4 وجود دارد اما اعداد حقیقی بین این دو عدد، بی نهایت (π ,4.01023 ,5.666 و غیره) است.

بنابراین مهم نیست دو عدد حقیقی مجزا چقدر به یکدیگر نزدیک باشند، همیشه تعداد بی نهایت اعداد حقیقی در بین آن ها وجود خواهد داشت. البته باید بدانید که این موضوع به خودی خود به این معنی نیست که مجموعه ئ اعداد حقیقی و اعداد طبیعی میزان های متفاوتی دارند، اما نشان می دهد که اساساً چیزی متفاوت در خصوص این دو مجموعه نامتناهی وجود دارد که مستلزم آنالیز بیشتر است! به همین دلیل گئورگ کانتور Georg Cantor در اواخر قرن نوزدهم این موضوع را آنالیز کرد. او نشان داد که این دو مجموعه بی نهایت به معنی واقعی میزان متفاوتی دارند. برای چگونگی درک این مطلب، ابتدا باید نحوه مقایسه مجموعه های بی نهایت را یاد بگیرید که با یاری توابع ممکن خواهد بود.

راه های مختلفی برای درک توابع وجود دارد که شامل نمادگذاری تابعی مانند f(x)=x+1، نمودارهای سهمی در صفحه دکارتی، دستوراتی مانند ورودی را بگیرید و 3 را به آن اضافه کنید و غیره می گردد. ما در این قسمت از یک تابع برای تطبیق عناصر یک مجموعه به عناصر مجموعه دیگر استفاده می کنیم. با توجه به همین مساله برای مجموعه اول اعداد طبیعی (ℕ) را در نظر می گیریم برای مجموعه دیگر، که ما آن را S می نامیم، همه اعداد طبیعی زوج را انتخاب می کنیم.

N={0,1,2,3,4,…} S={0,2,4,6,8,…}

تابع ساده f(x)=2x عناصر ℕ را به عناصر S تبدیل می نماید. به این معنی که این تابع ورودی های خود را دو برابر می نماید، بنابراین اگر عناصر ℕ را به عنوان ورودی f(x) در نظر بگیریم (مجموعه ورودی های یک تابع را دامنه آن می نامیم!)، خروجی ها همیشه عناصر S خواهند بود. به عنوان مثال f(0)=0, f(3)=6 و غیره! می توانید این کار را با ردیف کردن عناصر دو مجموعه در کنار هم انجام دهید و سپس با استفاده از فلش ها نشان دهید که چگونه تابع f ورودی ها را از ℕ به خروجی در S تبدیل می نماید.

توجه کنید که چگونه f(x) دقیقاً یک عنصر از S را به هر عنصر در ℕ اختصاص می دهد. ابتدا f همه عناصر را در S به ℕ اختصاص می دهد به زبان فنی تر هر عنصر S، تصویر یک عنصر ℕ در تابع f است، مثلا عدد زوج 3472 در S به شکل f(x)=3472 نوشته می گردد و نظیر ℕ آن عدد 1736 است. به عبارتی تابع f(x) اعداد ℕ را روی S نگاشت maps می نماید. به طور کلی اولین نکته مهم در تبدیل عناصر دو مجموعه به یکدیگر این است که تابع f(x) (یک تابع پوشا surjective) ورودی ها را از مجموعه ℕ به خروجی ای در S تبدیل می نماید و هیچ چیزی در مجموعه S از دست نمی رود.

دومین نکته ویژه در خصوص نحوه اختصاص دادن خروجی های f(x) به ورودی ها این است که هیچ دو عنصری در ℕ به یک عنصر در S تبدیل نمی شوند. به این معنی که اگر دو عدد در ℕ متفاوت باشند دو برابر آن ها هم متفاوت خواهد بود. در چنین حالتی می گوییم که تابع ما یک به یک injective (1-1 هم نوشته می گردد!) است. بنابراین تاکید می کنیم که هر عنصر در S تنها با یک عنصر در ℕ جفت می گردد.

این دو ویژگی تابع f(x) به شکلی قدرتمند با هم ترکیب می شوند، به این معنی که تابع f(x) تطابق کاملی بین عناصر ℕ و عناصر S ایجاد می نماید! این واقعیت که f(x) تابعی پوشا است به این معنی است که هر چیزی در S شریکی در ℕ دارد و این واقعیت که تابع 1 به 1 است به این معنی است که هیچ چیز در S به دو شریک در ℕ تبدیل نمی گردد. به طور خلاصه، تابع f(x) هر عنصر ℕ را دقیقا با یک عنصر S جفت می نماید.

توابعی که هم پوشا و هم یک به یک باشند، توابع یک به یک و پوشا bijection نامیده می شوند و از آنجایی که چنین تابعی همراه با این دو ویژگی یک مطابقت 1 به 1 بین این دو مجموعه ایجاد می نمایند به این معناست که هر عنصر در یک مجموعه دقیقاً یک شریک در مجموعه دیگر دارد و این یکی از راه های نشان دادن میزان یکسان دو مجموعه بی نهایت است.

توابع یک به یک و پوشا یک مطابقت 1 به 1 بین دو مجموعه ایجاد می نمایند که به این معناست که هر عنصر در یک مجموعه دقیقاً یک شریک در مجموعه دیگر دارد. چنین روشی، رهیافتی مناسب برای نمایش میزان یکسان دو مجموعه بی نهایت است.

از آنجایی که تابع f(x) ما تابعی یک به یک و پوشا است، نشان می دهد که دو مجموعه نامتناهی ℕ و S هم میزان هستند. حال ممکن است سوال گردد که مگر هر عدد طبیعی زوج خودش یک عدد طبیعی نیست و ℕ شامل هر چیزی در S به همراه اعضای خود است، بنابراین آیا ℕ نباید بزرگ تر از S باشد؟

در جواب باید گفت که اگر ما با مجموعه های متناهی سر و کار داشتیم، حق با شما بود. اما در خصوص یک مجموعه نامتناهی می تواند اعلام کرد که اگر چه یک مجموعه نامتناهی نوعی، می تواند شامل مجموعه دیگری باشد اما هنوز هم می تواند با آن مجموعه هم میزان باشد. به بیانی دیگر میزان مجموعه بی نهایت به اضافه 1 با بی نهایت برابر است؛ البته این تنها یکی از ویژگی های شگفت انگیز چنین مجموعه هایی است!

در کنار این تعیینه عجیب می توان عنوان نمود که یکی دیگر از ویژگی های شگفت انگیز دیگر بی نهایت ها وجود مجموعه های بی نهایت با میزان های مختلف است! البته گفتنی است که قبلا به این موضوع اشاره کردیم و همانطور که دیدید مجموعه های نامتناهی از اعداد حقیقی و طبیعی طبق اثبات کانتور دارای میزان های متفاوتی هستند.

مقایسه بین بی نهایت ها

از آنجایی که بین هر دو حقیقی و متمایز، بی نهایت اعداد حقیقی وجود دارد، اجازه دهید در این قسمت تمرکز خود را روی بی نهایت اعداد حقیقی بین صفر و 1 بگذاریم. همانطور که می دانید هر یک از این اعداد را می توان به عنوان یک بسط اعشاری (احتمالاً نامتناهی) مانند شکل زیر در نظر گرفت:

در اینجا a1،a2،a3 و بقیه به عنوان ارقام شناخته می شوند و همگی آن ها نباید صفر باشند تا عدد صفر نمایش داده نگردد. حال طبق اثبات قطری diagonal argument اگر بین اعداد طبیعی و این اعداد حقیقی یک تابع یک به یک و پوشا وجود داشته باشد چه اتفاقی می افتد؟ در چنین حالتی، میزان دو مجموعه یکسان خواهد بود و می توان از این تابع برای تناظر هر عدد حقیقی بین صفر و یک، به یک عدد طبیعی استفاده کرد. در این صورت لیستی مرتب شده از تناظر به وجود خواهد آمد که به توضیح زیر است:

بخش جالب توجه اثبات قطری این است که می توان از این لیست برای ساختن یک عدد حقیقی که در لیست نیست، استفاده کرد. به منظور این کار می توان رویه زیر را دنبال کرد:

رقم اول بعد از نقطه اعشار را از a1 متفاوت انتخاب کنید، رقم دوم را از b2 متفاوت کنید، رقم سوم را از c3 متفاوت کنید و به همین شکل ادامه دهید.

در چنین حالتی عدد حقیقی به واسطه رابطه با اعداد قطری لیست، تعریف می گردد. طبیعتا این عدد حقیقی اولین شماره در لیست نیست چراکه رقم اول لیست فرق دارد. بعلاوه نمی تواند دومین شماره لیست باشد، زیرا رقم دوم هم فرق دارد. این عدد نمی تواند nامین عدد این لیست هم باشد، زیرا رقم nام متفاوتی دارد و این برای همه n های لیست صادق است، بنابراین این عدد نو، که بین صفر و 1 است، در لیست وجود ندارذ.

از طرفی فرض بر این بود که تمام اعداد حقیقی بین صفر تا 1 در لیست وجود دارند که آشکارا نقض شد. این تناقض از این فرض ناشی می گردد که در بین اعداد طبیعی و اعداد حقیقی بین صفر و 1 یک تابع یک به یک و پوشا وجود دارد ولی فرض نقض شد و تعیین شد که چنین تابعی نمی تواند در لیست وجود داشته باشد. بنابراین این مجموعه های بی نهایت، میزان های مختلفی دارند. با کمی سروکله زدن با توابع می توان نشان داد که مجموعه همه اعداد حقیقی به میزان مجموعه همه اعداد حقیقی بین صفر و یک است، بنابراین اعداد حقیقی ای که شامل اعداد طبیعی می شوند باید مجموعه ای بی نهایت و بزرگ تر باشند. گفتنی است که اصطلاح فنی برای میزان یک مجموعه نامتناهی چیزی به نام کاردینالیتی یا عدد اصلی مجموعه cardinality است.

طی همین آنالیز ها اثبات قطری نشان داد که کاردینالیته اعداد حقیقی بیشتر از کاردینالیته اعداد طبیعی است. کاردینالیته اعداد طبیعی با ℵ0 نوشته می گردد که الفا صفر (aleph naught) تلفظ می گردد؛ در یک دیدگاه استاندارد این کوچکترین کاردینال بی نهایت است. کاردینال بی نهایت بعدی ℵ1 (آلفا یک) است و پیروی آن سوالی ساده بیان شد که ریاضیدانان را برای بیش از یک قرن درگیر کرد و آن سوال این بود که آیا ℵ1 کاردینالیتی عددی حقیقی است؟ به عبارت دیگر، آیا بی نهایت های دیگری بین اعداد طبیعی و اعداد حقیقی وجود دارد؟ کانتور فکر می کرد که پاسخ منفی است اما او قادر به اثبات آن نبود. حتی در اوایل دهه 1900، این سؤال به قدری مهم تلقی می شد که وقتی دیوید هیلبرت David Hilbert لیست معروف خود از 23 مسئله مهم و بی پاسخ در ریاضیات را جمع آوری کرد، این بحث مساله شماره یک او بود. تا اینکه در سال 1940 منطق دان معروفی به نام کورت گودل Kurt Gödel ثابت کرد که بر اساس قواعد عمومی پذیرفته شده در نظریه مجموعه ها، اثبات وجود بی نهایت هایی بین اعداد طبیعی و حقیقی غیرممکن است. در آن موقع این موضوع گام بزرگی در جهت اثبات درستی فرضیه کانتور بود، اما دو دهه بعد، ریاضیدانی به نام پل کوهن Paul Cohen نشان داد که اثبات عدم وجود چنین بی نهایتی غیرممکن است!

بنابراین گویا ریاضیات با دنیای انتزاعی، ترسناک و شیرین خود هنوز علاقه مند به سرکار گذاشتن ریاضی دانان است.

منبع: Quanta magazine